Nawet najwięksi geniusze popełniają błędy. Dawid Hilbert, człowiek o wielkiej kulturze intelektualnej nie jest tu wyjątkiem. Twiedzenie Ponceleta-Steinera mówi, że jeśli mamy okrąg i jego środek to wystarczy linijka bez podziałki (straight edge) do wykonania dowolnej konstrukcji geometrycznej.
Powstaje pytanie, czy wystarczy sam okrąg i linijka do wykonania dowolnej konstrukcji. Można je zredukować do pytania, czy mając okrąg i linijkę możemy znaleźć jego środek. Jeśli tak, to doprowadzamy do założenia twierdzenia Ponceleta - Steinera, które jest udowodnione.
Dotychczas znane były dwa dowody na niemożliwość znalezienia środka okręgu wyłącznie z użyciem linijki.
Tu jest jeden z nich (ostatni akapit), sedno którego pochodzi od Hilberta. Niestety, tkwi w nim błąd. Polega on na tym, że choć istnieje przekształcenie przeprowadzające okrąg na okrąg, które nie przeprowadza środka na środek, to przecież inny punkt, który występuje w tym przekształceniu może być przeprowadzony na środek okręgu. Można brać pod uwagę zbiór punktów, wśród których jest taki spełniający ten warunek. Znalazł go Sasza Szen. Sasza twierdzi, że naprawił ten dowód. Wygląda na pierwszy rzut oka, że tak jest w istocie. Na tekst Saszy Szena trafiłem dzięki Google. Dowód Hilberta wydawał mi się mocno podejrzany, no i voila - okazało się, że wewnętrzny głos miał rację. Ten dowód wykorzystuje reductio ad absurdum. Stosowanie tej metody czasami prowadzi do błędu, szczególnie gdy po drodze pojawi się zagadnienie nierozstrzygalne.
Ten inny dowód (oparty na kątach) jest w sposób oczywisty błędny.
W logo prawda jest ukryta. Są to cepy u koryta.
Kiedy gadzina ukąsi Żmudzina – od jadu Żmudzina zdycha gadzina
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Uwaga: tylko uczestnik tego bloga może przesyłać komentarze.